METODE NUMERIK: METODE NEWTON RAPHSON (2)

METODE NUMERIK: METODE NEWTON RAPHSON (2)

OLEH: Mtk-B/VII/Kel.5

BAB I PENDAHULUAN

           Dalam permasalahan non-linier, terutama permasalahan yang mempunyai hubungan fungsi eksponensial dalam pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah dengan melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode numerik dalam komputasi akan sangat membatu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat membantu setiap penyelesaian permasalahan apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Ada sejumlah metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Dua diantaranya adalah metode Newton-Raphson

dan metode Titik Tetap.

           Pendekatan kedua metode yang berbeda ini dalam menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat dalam kedua metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan yang diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disamping ketepatan nilai akhir dari suatu metode juga akan mempertimbangkan kecepatan iterasi dalam perolehan hasil akhir. Kombinasi antara ketepatan dan kecepatan iterasi dalam metode numerik merupakan hal yang penting dalam penyelesaian permasalahan secara komputasi.

BAB II PEMBAHASAN

A.  Sistem Persamaan Tak Linier 

     Sampai kini, kita telah memutuskan perhatian kita pada penentuan akar-akar satu persamaan tunggal. Suatu masalah yang berkaitan adalah melokasikan akar-akar himpunan persamaan taklinier,

f1 (x1, x2, …, xn) = 0

f2 (x1, x2, …, xn) = 0

.                    .

.                    .

.                    .

fn (x1, x2, …, xn) = 0

Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang secara simultat memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol.

Di bagian tiga, kita akan menyajikan metode-metode untuk kasus dalam hal semua persamaan tersebut linear-yakni dapat dinyatakan dalam bentuk umum

f (x) = a1x1 + a2x2 + … + anx– c = 0

Dengan c koefisien-koefisien  adalah konstanta. Persamaan-persamaan aljabar dan trasenden yang tidak cocok dengan bentuk ini disebut persamaan taklinear. Misalnya,

x2 + xy =5

Dan

y + 2xy = 15

Adalah dua persamaan taklinear simultat dengan dua bilangan anu, . Persamaan-persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai,

u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0

v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0

Jadi, penyelesaian akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat fungsi u (x,y) dan v (x,y) sama dengan nol. Kebanyakan pendekatan untuk penentuan penyelesaian yang demikian merupakan perluasan dari metode-metode terbuka untuk menyelesaikan persamaan tunggal. Dalam pasal ini kita akan menyelidiki dua dari metode ini: iterasi satu titik dan Newton-Raphson.

B.  Metode Lelaran Titik Tetap (iterasi satu titik)

Pendekatan iterasi satu titik dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan dua persamaan linear yang simultan. Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan lelaran jacobi

xr+1 = g1 (xr,yr)

yr+1 = g2 (xr,yr)    r = 0,1,2,….

kondisi berhentinya adalah |xr+1 – xr | < ɛ  dan |yr+1 – yr | < ɛ . Kecepatan konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung yr+1.

Jadi,

xr+1 = g1 (xr,yr)

yr+1 = g2 (xr+1,yr)       r = 0,1,2,…

Pendekatan ini akan diilustrasikan dalam contoh berikut:

Iterasi satu titik untuk sistem tak linear

Pernyataan masalah : Dengan menggunakan satu titik untuk menentukan akar-akar persamaan

u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0

v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0

Perhatikan bahwa sepasang akar yang benar adalah x = 2 dan y = 3. Awali komputasinya dengan menebak x = 1 dan y = 2.

Penyelesaian : persamaan tersebut dapat dipecahkan

xr+1 = (5 – xr2 ) / yr

Dan persamaan dapat dipecahkan untuk

yr+1 = 15 – 2xryr

Pehatikan bahwa selanjutnya dalam contoh diatas kita akan membuang tikalas (subskrip).

Berdasarkan tebakan awal, persamaan dapat dipakai untuk menentukan nilai x yang baru:

x = (5 – 12) / 2 = 2

Hasil ini dan nilai y  = 2 dapat disubstitusikan ke dalam persamaan untuk menentukan nilai y yang baru:

y = 15 – (2)(2) = 11

Jadi, pendekatan tersebut kelihatannya divergen. Prilaku ini lebih jelas lagi pada iterasi yang kedua

x = (5 – 22) / 11 = 0

y = 15 – 2 (2)(0) = 15

Jelas pendekatannya semakin buruk.

Sekarang kita akan mengulangi komputasinya tetapi dengan persamaan semula disusun dalam bentuk berbeda. Misalnya, perumusan lain persamaan adalah:

x = (5 – xy)1/2

Dan persamaan

y = (15 – y) / 2x

x = (5 – 1(2))1/2 = 1,73

y = (15 – 2) / 2(1,73) = 13,27

x = (5 – (1,73)(13,27))1/2 = imajiner

Karena pendekatannya semakin buruk maka kita ulang kembali kumputasinya dengan persamaan yang berbeda. Misalnya

x = 5 / (x+y)

Dan persamaan

y = 15 / (1+2x)

x = 5 / (1+2) = 1,667

y = 15 / (1+2(1,667)) = 3,461

x = 5 / (1,667+3,461) = 0,975

y = 15 / (1+2(0,975)) = 5,05

Jadi, pendekatan konvergen ke nilai-nilai sejati x = 0 dan y  = 6.

           Contoh sebelum ini menggambarkan kekurangan yang paling serius dari iterasi satu-titik sederhana yakni bahwa kekonvergenan karap kali tergantung pada bagaimana persamaan-persamaan itu dirumuskan. Tambahan pula, sekalipun dalam situasi dimungkinkannya kekonvergenan, dapat saja terjadi kedivergenan jika tebakan awal tidak cukup dekat ke penyelesaian sejati. Dengan penalaran yang serupa seperti diperagakan bahwa syarat yang perlu untuk kekonvergenan adalah

… … … > 1

Dan

… … … < 1

Kriteria ini demikian terbatas (restriktif) sehingga iterasi satu-titik jarang sekali dipakai dalam praktek.

Adapun algoritma dari metode lelaran titik tetap atau iterasi satu titik

  1. Tentukan x0, y0, dan epsilon.
  2. Masukkan persamaan x1 dan y1
  3. Jika |xr+1 – xr | < ɛ  dan |yr+1 – yr | < ɛ  maka iterasi berhenti
  4. Jika tidak maka kembali ke 2 dengan x1=x0 dan y1=y0;
  5. Tarik akar
  6. Selesai

Contoh perogramnya dalam matlab

clc;

clear;

x0=1;

y0=2;

epsilon=0.000001;

disp(‘Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar’)

disp(‘f1(x,y)=x^2 + xy – 5’);

disp(‘f2(x,y)=y + 2xy – 15’);

disp(‘r             x              y         |x(r+1)-x(r)|     |y(r+1)-x\y(r)|’);

for iterasi=1:100;

x=5/(x0+y0);

y=15/(1+2*x0);

fprintf(‘%3g    %12.7f   %12.7f    %12.7f   %12.7f\n’, iterasi, x, y, abs(x-x0),abs(y-y0));

if (abs(x-x0)<epsilon)&((y-y0)<epsilon);

break;

end;

x0=x;

y0=y;

end;

akar1=x;

akar2=y;

fprintf(‘Akar 1 adalah %10.7f\n’,x);

fprintf(‘Akar 2 adalah %10.7f\n’,y);

fprintf(‘Jumlah iterasi = %3g\n’, iterasi);

dan hasilnya

Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar

f1(x,y)=x^2 + xy – 5

f2(x,y)=y + 2xy – 15

r             x              y         |x(r+1)-x(r)|   |y(r+1)-x\y(r)|

1       1.6666667      5.0000000       0.6666667      3.0000000

2       0.7500000      3.4615385       0.9166667      1.5384615

3       1.1872146      6.0000000       0.4372146      2.5384615

4       0.6956798      4.4451962       0.4915348      1.5548038

5       0.9725969      6.2725824       0.2769171      1.8273861

6       0.6901141      5.0930435       0.2824828      1.1795389

7       0.8645796      6.3019170       0.1744655      1.2088735

8       0.6976910      5.4961983       0.1668886      0.8057188

9       0.8072472      6.2620494       0.1095563      0.7658511

10       0.7072839      5.7372468       0.0999633      0.5248026

11       0.7758517      6.2122917       0.0685677      0.4750449

12       0.7154976      5.8784262       0.0603541      0.3338654

13       0.7582738      6.1703123       0.0427762      0.2918861

14       0.7216479      5.9605467       0.0366259      0.2097656

15       0.7482572      6.1392482       0.0266092      0.1787015

16       0.7259522      6.0083773       0.0223049      0.1308709

17       0.7424644      6.1176934       0.0165122      0.1093161

18       0.7288462      6.0363902       0.0136182      0.0813032

19       0.7390725      6.1032861       0.0102263      0.0668959

20       0.7307422      6.0529147       0.0083303      0.0503714

21       0.7370656      6.0938840       0.0063234      0.0409692

22       0.7319627      6.0627344       0.0051029      0.0311496

23       0.7358680      6.0878469       0.0039053      0.0251125

24       0.7327387      6.0686093       0.0031293      0.0192375

25       0.7351484      6.0840144       0.0024097      0.0154050

26       0.7332278      6.0721450       0.0019205      0.0118694

27       0.7347136      6.0816012       0.0014858      0.0094563

28       0.7335342      6.0742831       0.0011794      0.0073181

29       0.7344498      6.0800909       0.0009156      0.0058078

30       0.7337252      6.0755812       0.0007246      0.0045097

31       0.7342892      6.0791497       0.0005640      0.0035685

32       0.7338438      6.0763718       0.0004454      0.0027779

33       0.7341911      6.0785651       0.0003473      0.0021933

34       0.7339173      6.0768545       0.0002738      0.0017106

35       0.7341312      6.0782029       0.0002138      0.0013484

36       0.7339628      6.0771497       0.0001684      0.0010532

37       0.7340945      6.0779789       0.0001316      0.0008291

38       0.7339909      6.0773306       0.0001035      0.0006483

39       0.7340719      6.0778405       0.0000810      0.0005099

40       0.7340083      6.0774415       0.0000637      0.0003990

41       0.7340581      6.0777551       0.0000499      0.0003136

42       0.7340190      6.0775095       0.0000392      0.0002456

43       0.7340496      6.0777024       0.0000307      0.0001929

44       0.7340255      6.0775513       0.0000241      0.0001511

45       0.7340444      6.0776700       0.0000189      0.0001187

46       0.7340296      6.0775770       0.0000148      0.0000930

47       0.7340412      6.0776500       0.0000116      0.0000730

48       0.7340321      6.0775928       0.0000091      0.0000572

49       0.7340392      6.0776377       0.0000071      0.0000449

50       0.7340336      6.0776025       0.0000056      0.0000352

51       0.7340380      6.0776301       0.0000044      0.0000276

52       0.7340346      6.0776085       0.0000035      0.0000217

53       0.7340373      6.0776255       0.0000027      0.0000170

54       0.7340352      6.0776121       0.0000021      0.0000133

55       0.7340368      6.0776226       0.0000017      0.0000105

56       0.7340355      6.0776144       0.0000013      0.0000082

57       0.7340366      6.0776208       0.0000010      0.0000064

58       0.7340357      6.0776158       0.0000008      0.0000050

Akar 1 adalah  0.7340357

Akar 2 adalah  6.0776158

Jumlah iterasi =  58

C.  Newton Raphson

Mari kembali kita ingat kembali bahwa metode Newton-Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan) suatu fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah bebasnya-yakni akar. Taksiran ini didasarkan pada uraian deret Taylor

f (xr+1) = f(xr) + (xr+1 – xr)f’(xr)

Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik tempat garis singgung memotong sumbu x. pada perpotongan ini, f (xr+1) yang didefinisikan sama dengan nol, dapat disusun kembali untuk menghasilkan

f (xr+1) = x– (f(xr) / f’(xr))

Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton Raphson.

           Bentuk persamaan majemuk diturunkan dalam gaya yang identik. Namun, deret Taylor dengan peubah majemuk harus dipakai dengan tujuan memperhitungkan kenyataan bahwa lebih dari satu peubah bebas penyumbang penentuan akar tersebut. Untuk kasus dua peubah, deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing-masing persamaan linear sebagai

ur+1 = … … …

Dan

vr+1 = … … …

Sama halnya seperti untuk versi persamaan tunggal, taksiran akar berpandangan dengan titik-titik pada mana ur+1 dan ur+1 sama dengan nol. Untuk situasi ini, persamaan dapat disusun ulang untuk memberikan

… … …

… … …

           Karena hampir semua yang dengan tikalas r diketahui (berpandangan terhadap tebakan atau hamp[ir yang terakhir), yang tidak diketahui adalah xr+1 dan yr+1. Jadi, persamaan berupa himpunan dua persamaan linear dengan dua bilangan anu. Akibatnya, dapat deterapkan manupukasi aljabar (misalnya aturan Cramer) untuk memecahkan

… … …

… … …

         Penyebut dari masing-masing persamaan ini secara formal diacu sebagai determinan jacobi dari sistem tersebut.

Contoh pada persamaan

u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0

v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0

Jika persamaan ini dimasukkan dalam matlab maka

clc;

clear;

x0=1;

y0=2;

disp(‘Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar’);

disp(‘f1(x,y)=x^2 + xy – 5’);

disp(‘f2(x,y)=y + 2xy – 15’);

disp(‘iterasi     akar1       akar2’);

for iterasi=1:100;

x1=x0-(((x0.^2+x0*y0-5)*(1+2*x0)-(y0+2*x0*y0-15)*(x0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));

y1=y0+(((x0.^2+x0*y0-5)*(2*y0)-(y0+2*x0*y0-15)*(2*x0+y0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));

fprintf(‘ %3g    %10.7f  %10.7f\n’, iterasi, x1, y1);

if (abs(x1-x0)<0.000001)||(abs(y1-y0)<0.000001);

break;

end;

x0=x1;

y0=y1;

end;

akar1=x1;

akar2=y1;

fprintf(‘Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f\n’,akar1, akar2);

fprintf(‘Jumlah iterasi = %g\n’,iterasi);

dan hasilnya

Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar

f1(x,y)=x^2 + xy – 5

f2(x,y)=y + 2xy – 15

iterasi     akar1       akar2

1     0.6250000   5.5000000

2     0.7448308   6.0808271

3     0.7340693   6.0774838

4     0.7340361   6.0776180

5     0.7340361   6.0776180

Akar akarnya adalah  0.7340361 dan  6.0776180

Jumlah iterasi = 5

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven C. 1988. Metode Numerik jilid 1edisi kedua. Jakarta. Erlangga.

Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik revisi kedua. Bandung. Informatika.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s