PEMROGRAMAN LINIER: METODE GRAFIK

SOAL-SOAL

1. Suatu perusahaan pembuatan mebel mempunyai 6 unit dari kayu dan 20 jam waktu bebas yang mana perusahaan ini akan membuat suatu dekorasi dinding. Terdapat dua model yang sudah dijual di masa lalu. Oleh karena itu pengusaha ini bertahan untuk hanya memproduksi dua model tersebut.
Menurut perkiraannya, model – I membutuhkan 2 unit kayu dan 7 jam kerja, sedangkan model – II membutuhkan 1 unit kayu dan 8 jam kerja. Sudah dapat ditentukan per unit model – I adalah $ 120,- sedangkan unit model – II adalah $ 80,-
a. Berapa banyak dekorasi dinding yang harus dibuat oleh pengusaha tersebut untuk memaksimalkan pendapatan yang diperoleh?
b. Perhitungkan jumlah pendapatan yang diperoleh pengusaha ini untuk kedua model tersebut!

2. Suatu perusahaan arloji dinding yang terdiri dari dua desain, yaitu:
• Jumlah produksi arloji biasa (tidak pakai alarm) yang dinyatakan dengan X
• Jumlah produksi arloji khusus (pakai alarm) dinyatakan dengan Y
Sedangkan ketentuan setiap hari dari kedua jenis arloji ini dinyatakan sebagai berikut:
• Untuk produksi X unit arloji biasa = 3X
• Untuk produksi Y unit arloji alarm = 8Y
Maksimum Z = 3X + 8Y
Dengan kendala: 2X + 4Y ≥ 1600
6X + 2Y ≤ 1800
Y < 350
X dan Y > 0
Tentukan banyaknya arloji biasa (X) dan arloji alarm (Y) dengan menggunakan metode grafik!
3. Suatu perusahaan memproduksi barang A dan B. Para staf perusahaan sudah menguraikan dan menyusun fungsi objektif dan fungsi-fungsi kendalanya dengan pernyataan sebagai berikut:
• Barang A = X (jumlah)
• Barang B = Y (jumlah)
Formulasi persoalan pemrograman linier ini dinyatakan sebagai berikut:
Maksimum Z = 10X + 6Y
Dengan kendala:   2X + 3Y ≤ 90
4X + 2Y ≤ 80
5X + Y = 25
Y > 15
Dengan X dan Y ≥ 0
a. Tentukan banyaknya barang A dan B dengan menggunakan metode grafik!
b. Perhitungkan jumlah pendapatan (revenue) dari penjualan kedua barang tersebut!
4. Perusahaan bakery akan membuat roti daging secara tradisional dengan menggunakan kombinasi daging sapi dan daging domba.
Daging sapi terdiri dari 80% daging dan 20% lemak, sedangkan biaya penjualan roti 80 sen dolar per pon. Untuk daging domba terdiri dari 68% daging dan 32% lemak dan penjualan roti 64 sen dolar per pon.
Seberapa banyak dari setiap macam daging yang akan digunakan pada setiap pon roti daging bila diinginkan untuk meminimumkan biaya dan dengan mempertahankan isi lemak dari roti daging tersebut tidak melebihi 25%?
5. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang, A dan B. Lewat penelitian sudah ditentukan fungsi objektif dan kendalanya, yaitu sebagai berikut:
Minimum Z = 8X + 5Y
Dengan kendala: 4X + 5Y ≥ 1000
X ≤ 300
Y ≤ 170
X dan Y ≥ 0
Perhitungkan nilai fungsi objektifnya!

JAWABAN
1. Dari persoalan tersebut dapat diumpamakan:
X = jumlah dari produksi model – I
Y = jumlah dari produksi model – II
Fungsi objektif:
Maksimum Z = 120X + 80Y
Dengan kendalanya:  2X + Y < 6
7X + 8Y < 28
X dan Y > 0

Gambar 2.1 Model Maksimum
Hasil dari persoalan grafik ini merupakan induk yang dapat dinyatakan sebagai integer dan diperoleh bahwa:
Z = 120 (3) + 80 (0)
= 360
Berarti pendapatan optimal dari penjualan dekorasi dinding ini adalah = $360,-
(terbilang: tiga ratus enam puluh dolar)
2. Dalam mencari penyelesaian yang optimal, langkah-langkahnya adalah:
a. Menggambarkan kendala-kendalanya.
Dianggap bahwa semua pembatas mencapai maksimal sehingga untuk:
– Kendala 1: bila 2X + 4Y = 1600
Y = 0, maka
2X + 0 = 1600
X = 800
Bila X = 0, maka
0 + 4Y = 1600
Y = 400
– Kendala 2: bila 6X + 2Y = 1800
Y = 0, maka
6X + 0 = 1800
X = 800
Bila X = 0, maka
0 + 2Y = 1800
Y = 900
– Kendala 3
Di mana Y < 350 atau Y = 350 → bila habis terpakai semuanya
b. Meneliti daerah layak.
• Titik 0 → 0,0 → tidak mungkin produksi X = 0,
X2 = 0 dan Z = 0 → fungsi objektif
• Titik A = 300,0
Di sini X = 300, Y = 0
Nilai fungsi objektif: Z = 900 + 0 = 900
• Titik B = 800/6,1000/3
800 – 2Y = 300 – 1/2 Y
3/2 Y = 500
Y = 1000/3
6X + 3 (1000/3) = 1800
X = 800/6
Jadi Z = 3X + 8Y
Z = 3(100) + 8(350)
Z = 300 + 2800 = 3100
• Titik D = 0,350 (pada sumbu Y (arloji alarm))
Jadi Z = 0 + 8(350)
Z = 2800
• Titik-titik yang lain berada di luar daerah yang fleksibel sehingga tidak dipakai untuk menentukan nilai X dan Y.
c. Penggambaran grafik.

• Z = 900,- , maka digambarkan
Y = -3/8 X + 900/8
Bila X = 0 maka Y = 900/8
X2 = 0 maka X = 300

• Z = 1600
3X + 8Y = 1600
8Y = 1600 – 3X
Bila X = 0 → Y = 200
Y = 0 → X = 533,3

• Z = 1800
3X + 8Y = 1800
3X = 1800
X = 600
Bila X = 0 → 8Y = 1800
Y = 225
• Ketiga garis Z ini dapat digambar pada sumbu koordinat. Garis melalui titik koordinat C = (100,350) yang merupakan fungsi objektif ZC = 3100,- dapat digambarkan sejajar dengan ketiga   garis sejajar tersebut.
• Gambar grafik

d. Penyelesaian optimal.
Hasil akhir kelima titik di daerah layak tersebut diperhitungkan dengan seksama sehingga diperoleh: Z0 = 0; ZA = 900,-
ZB = 3000,-; ZC = 3100,-
ZD = 2800,-
Dengan demikian nilai keuntungan maksimal pada titik > C, di mana fungsi objektif maksimal adalah ZC = 3100,-
Fungsi objektifnya, yaitu:
Maksimum Z = 3X + 8Y pada grafik dilakukan penggambaran yang sejajar dengan ZA = 900,-; ZB = 3000,-; ZC = 3100,- dan ZD = 2800,-
Dengan mengambil nilai tertinggi untuk nilai – Z maka hasilnya adalah:
Z optimal = $ 3100,- dengan nilai variabel keputusannya
X = 100, arloji biasa
Y = 350, arloji alarm
Sehingga keuntungan yang diperoleh dari kedua jenis arloji adalah $3100,- (terbilang: tiga ribu seratus dolar)
3. Titik potong
• 2X + 3Y = 90, X = 45 dan Y = 30
• 4X + 2Y = 80, X = 20 dan Y = 40
• Y > 15, yang berarti Y = 15
5X + Y = 25, X = 5 dan Y = 25
• Perpotongan 1 dan 2
4X + 6Y = 180
4X + 2Y = 80
4Y = 100
Y = 25
4X + 2(25) = 80
4X = 30
X = 7,5
• Perpotongan 3 dan 4
Y = 15, 5X + Y = 25
5X + 15 = 25
X = 2, Y = 15
a. Gambar grafik

b. Solusi optimal
• Titik A = (0,30), ZA = 10 (0) + 6 (30) = 180
• Titik B = (7,5 ,25), ZB = 10 (7,5) + 6 (25) = 75 + 150 = 225
• Titik C = (12,5 ,15), ZC = 10 (12,5) + 6 (15) = 125 + 90 = 215
• Titik D = (2,15), ZD = 10 (2) + 6 (15) = 20 + 900 = 110
Dengan demikian dari perhitungan fungsi objektif Z diperoleh nilai pendapatan maksimum berada pada titik C dengan ZC = $ 225,-
Sedang barang yang diproduksi adalah 7,5 unit barang A dan 15 unit barang B.
c. Penggambaran fungsi objektif
Dalam menggambar Z ini dapat dianggap bahwa nilai Z bebas.
• Bila Z = 120 maka:
10X + 6Y = 120
Y = 20 → X = 0
10X = 120 → Y = 0
X = 12
• Bila Z = 180 maka:
10X + 6Y = 180
Y = 30 → X = 0
10X = 180 → Y = 0
X = 18
Dengan demikian fungsi objektif yang optimal dapat digambarkan sejajar dengan kedua garis sejajar untuk Z = 120 dan juga Z = 180. Tentunya hasil optimal dari pendapatan penjualan barang A dan B adalah:
ZB = 10 (7,5) + 6 (25) = 75 + 150 = $225,-
(terbilang: dua ratus dua puluh lima dolar)
4. Fungsi objektif
X = jumlah pon daging sapi yang digunakan dalam setiap pon roti daging.
Y = jumlah pon daging domba yang digunakan dalam setiap pon roti daging.
Minimum Z = 80X + 60Y
Dengan kendala: 0,20X + 0,32Y < 0,25
X + Y = 1
Untuk X dan Y > 0
• Titik potong fungsi kendala
0,20X + 0,32Y < 0,25
X = 1,25 dan Y = 0,7812
• Titik potong fungsi kendala
X + Y = 1
X = 1 dan Y = 1
• Titik potong fungsi kendala
0,20X + 0,32Y < 0,25 dengan X + Y = 1 akan diperoleh
0,20X + 0,32Y = 0,25
0,20X + 0,20Y = 0,20 – ← (x 0,20)
0,12Y = 0,05
Y = 5/12 = 0,4178 dan X = 1 – 5/12 = 7/12
Dengan fungsi objektif pada nilai ZB = 80 (7/12) + 60 (5/12) = (75 + 140)/3 = 71,67
Untuk ZA = 80 (0) + 60 (1) = 60 dengan titik Z = (0,1)
Untuk ZC = 80 (1) + 60 (0) = 80 dengan titik Z = (1,0)
Ini berarti yang terpilih adalah titik B dengan X = 7/12 dan Y = 5/17 dan fungsi objektif ZB = 71,67
• Penggambaran grafik pada sumbu koordinat

Dengan demikian fungsi objektif minimum juga dapat digambarkan pada ruang grafik yang layak dengan solusi yang optimal dari fungsi objektif yang dapat digambarkan dengan garis putus-putus untuk Z = 70 dan juga Z = 80.
5. Dengan formulasi yang sudah terbentuk ini grafiknya dapat digambarkan secara langsung pada sumbu koordinat dengan titik-titik potong sebagai berikut:
• 4X + 5Y = 1000, X = 250 dan Y = 200
• X < 300, X = 300 dan Y = 0
• Y < 170, X = 0 dan Y = 170
• Gambar grafik

• Analisis (daerah) kelayakan
(a) Titik potong A = (250,0)
maka ZA = 8X + 5Y = 8(250) + 5(0) = 2000,-
(b) Titik potong B = (300,0)
ZB = 8X + 5Y = 8(300) + 5(0) = 2400,-
(c) Titik potong C = (300,170)
ZC = 8X + 5Y = 8(300) + 5(170) = 2400 + 850 = 3250,-
(d) Titik potong D = (18,75,170)
ZD = 8X + 5Y = 8(17,75) + 5(170) = 150 + 850 = 1000,-
Dari keempat titik potong (A, B, C dan D) nilai fungsi objektif yang terendah adalah:
ZD = 1000, dengan X = 18,75 dan Y = 170
Ini berarti fungsi objektif sudah optimal dengan daerah (ruang) kelayakan pada ZD = $1000. Gambar fungsi objektif Z:
• Untuk Z = 800
800 = 8X + 5Y, pada gambar grafik X = 100 dan Y = 160
• Untuk Z = 800
1000 = 8X + 5Y, pada gambar grafik X = 125 dan Y = 200
• Untuk Z = 800
1200 = 8X + 5Y, pada gambar grafik X = 150 dan Y = 240
Dalam gambar grafik sudah dibuat sebagai garis lurus fungsi objektif.

Sumber: Thomas J. Kakiay. 2008. PEMROGRAMAN LINIER Metode dan Problema. Yogyakarta: Andi

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s